原码、反码、补码、移码、浮点数
基本概念及表示范围
定义
- 真值：对于无符号数，真值即对应其十进制数值，对于有符号数，首位为符号位首位为1表示负，首位为0表示正，剩余位为对应十进制绝对值
- 原码：符号位加上真值的绝对值。即用第一位表示符号 其余位表示值。比如如果是8位二进制: +1 = 1000_0001
- 反码：正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上符号位不变，其余各个位取反。
- 补码：正数的补码就是其本身，负数的补码是在其反码的基础上+1
- 移码：真值+偏置值，n位二进制数偏置值为$2^n - 1$,其简单计算方法为补码符号位取反，数值位不变
浮点数
$V = (-1)^S * M * R^E$,如8.345 * 10^0：
- S：符号位，取值 0 或 1，决定一个数字的符号，0 表示正，1 表示负
- M：尾数，用小数表示，例如前面所看到的 8.345 * 10^0，8.345 就是尾数
- R：基数，表示十进制数 R 就是 10，表示二进制数 R 就是 2
- E：指数，用整数表示，例如前面看到的 10^-1，-1 即是指数
例如32位二进制浮点数及可表示为下列格式：
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IEEE754标准
- 单精度浮点数 float：32 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit
- 双精度浮点数 float：64 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit
为了使其表示的数字范围、精度最大化，浮点数标准还对指数和尾数进行了规定：
- 尾数 M 的第一位总是 1（因为 1 <= M < 2），因此这个 1 可以省略不写，它是个隐藏位，这样单精度 23 位尾数可以表示了 24 位有效数字，双精度 52 位尾数可以表示 53 位有效数字
- 指数 E 是个无符号整数，表示 float 时，一共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255。但因为指数可以是负的，所以规定在存入 E 时在它原本的值加上一个中间数 127，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。表示 double 时，一共占 11 bit，存入 E 时加上中间数 1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024。
除了规定尾数和指数位，还做了以下规定：
- 指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字，按上面的规则正常计算
- 指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，尾数隐藏位不再是 1，而是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表示 0 和很小的数
- 指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）
- 指数 E 全 1，尾数非 0：NaN(Not a Number)
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有了这个统一的浮点数标准，我们再把 25.125 转换为标准的 float 浮点数：
- 整数部分：25(D) = 11001(B)
- 小数部分：0.125(D) = 0.001(B)
- 用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)
所以 S = 0，尾数 M = 1.001001 = 001001(去掉1，隐藏位)，指数 E = 4 + 127(中间数) = 135(D) = 10000111(B)。填充到 32 bit 中，如下：
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相互转换以及运算
二进制十进制转换
整数转二进制
采用”除2取余，逆序排列”法：- 首先用2整除一个十进制整数，得到一个商和余数
- 然后再用2去除得到的商，又会得到一个商和余数
- 重复操作，一直到商为小于1时为止
- 然后将得到的所有余数全部排列起来，再将它反过来（逆序排列），切记一定要反过来！
假设我们现在需要将42转为二进制，那我们怎么做呢，如下图所示：
小数转二进制
采用”乘2取整，顺序排列”法：- 用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出
- 再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出
- 重复操作，直到积中的小数部分为零，此时0或1为二进制的最后一位，或者达到所要求的精度为止
例如将0.125转换为二进制：
- 0.125 * 2 = 0.25 ——0
- 0.25 * 2 = 0.5 ——0
- 0.5 * 2 = 1.0 ——1
当小数部分为0就可以停止乘2了，然后正序排序就构成了二进制的小数部分：0.001
如果小数的整数部分有大于0的整数时，将整数部分和小数部分先单独转为二进制，再合在一起就可以了，
例如：假设要将8.125 转换为二进制
- 现将8转为二进制：得到1000
- 再将0.125转为二进制：得到0.001
- 合并后为1000.001
二进制转十进制
以小数点左边一位为0，往左位阶依次是$2^1,2^2…$，往右是$2^{-1}, 2^{-2}…$,依次相乘并加和即可
原码、反码、补码、移码相互转换
| 原码 | 反码 | 补码 | 移码 | |
|---|---|---|---|---|
| 正整数 | 本身，符号位为0 | 与原码相同 | 与原码相同 | 符号位取反 |
| 负整数 | 本身，符号位为1 | 符号位不变，数值位按位取反 | 反码末位加1 | 符号位取反 |
| 正小数 | 本身，符号位为0 | 与原码相同 | 与原码相同 | 小数无移码 |
| 负小数 | 本身，符号位为1 | 符号位不变，数值位按位取反 | 反码末位加1 | 小数无移码 |
表示范围
设有一个n位二进制数
| 表示范围（机器字长为n + 1） | 特征 | |
|---|---|---|
| 整数原码 | $-（2^n -1）\le x \le 2^n - 1$ | 0的表示方法有两种,原点对称 |
| 小数原码 | $-(1 - 2^{-n}) \le x \le 1 - 2^{-n}$ | 0的表示方法有两种,原点对称 |
| 整数反码 | $-（2^n -1）\le x \le 2^n - 1$ | 0的表示方法有两种,原点对称 |
| 小数反码 | $-(1 - 2^{-n}) \le x \le 1 - 2^{-n}$ | 0的表示方法有两种,原点对称 |
| 整数补码 | $- 2^n \le x \le 2^n - 1$ | 真值0只有一种形式，并规定1000，0000表示$x = -2^7$ |
| 小数补码 | $-1 \le x \le 1 - 2^{-n}$ | 真值0只有一种格式，规定1.000，0000表示x = -1 |
| 整数移码 | $- 2^n \le x \le 2^n - 1$ | 移码只能用于表示整数，0同样只有一种表示形式，很容易对比大小，移码表示数依次真值递增 |
在现代计算机中，通常用定点补码表示整数 ，用定点原码表示小数 ，用移码表示浮点数的阶码
加减运算
原码加减：
- 原码加减比较麻烦，一般采用补码进行运算
补码加减：
- 直接相加并进位
- 减法等同于加上负数，
- 由$[x]{补}$ 求$[-x]{补}$，将所有位取反，末尾加一
乘法运算
- 原码：符号位和数值位单独运算
- 补码：待补充
除法运算
待补充
符号扩展
- 正数（原、反、补码都一样）最高位进行扩展
- 负数
- 原码：在符号位和数值位之间补0
- 反码：在符号位和数值位之间补1
- 补码：在符号位和数值位之间补1
- 正小数（原、反、补码都一样）末尾进行0扩展
- 负小数
- 原码：末尾补0
- 反码：末位补1
- 补码：末位补0
定点数移位运算
算术移位
- 原码：符号位不参与移位，左移右移都补0
- 反码：符号位不参与移位，左移右移都补1
- 补码：符号位不参与移位，左移补0，右移补1
逻辑移位
可看作对无符号数的移位
循环移位
循环补位，注意进位位
